等比数列前n项和公式及应用实例解析

作者：公式小助手 2024-09-07 07:28:30

等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的某个固定倍数。等比数列有许多重要的性质和应用，其中最基础的就是等比数列前n项和的公式。本文将详细介绍等比数列前n项和的计算公式及其应用实例。

等比数列前n项和公式

设等比数列的首项为a，公比为r，项数为n，则等比数列前n项和的公式为：

$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$

其中：

这个公式可以帮助我们快速计算出等比数列前n项的和。下面我们来看几个应用实例。

已知一个等比数列的首项a=2，公比r=3，求该数列前10项的和。

根据公式，我们可以计算得到：

$$S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 59049}{-2} = 29524$$

因此，这个等比数列的前10项和为29524。

如果等比数列的公比|r|<1，则该数列是收敛的，其前n项和的极限就是该数列的无穷项和。

设等比数列的首项为a，公比为r，则无穷等比数列的和公式为：

$$S_\infty = \frac{a}{1-r}$$

例如，一个等比数列的首项a=5，公比r=0.6，则其无穷项和为：

$$S_\infty = \frac{5}{1-0.6} = 12.5$$

通过本文的学习，相信大家对等比数列前n项和的计算公式有了更深入的了解。等比数列广泛应用于各个领域，掌握这一公式对于解决实际问题非常有帮助。希望本文对您有所启发和帮助。感谢您的阅读!